とする． 前回，が-準同型写像であることを確かめた．これはについて，-準同型写像の加法を定めたことに成る．いま，-準同型写像の集合 を考えると，演算に対して，これは加法群を成す． (証明) Ⅰ. 結合律 を選ぶ(パラメタの自在性)すなわち と置く．このと…

- とする． ☆ 写像とは何か？ ここでは，言葉の意味について考えることはない．それが「抽象」である．たとえば(左)-加群とは何か？ と言われたとしよう．私は(今覚えている限りで) ① ② ③ ④ をみたすような及びである，と答えたとする．では，非可換環とは何…

とする．このときは-加群を成す． (説明) は-加群の部分加群であるから () () という性質をもつ．このとき (ア) が成立する． (証明) i.e. i.e. と置く．このときより である．とくにはの部分群であるから と成る．▢ (イ) が成立する． (証明) (ア)よりであ…

とする． 問 < をみたすの値をすべて求めよ． (解答) > と置く．このときについて i.e. i.e. と計算できる．他方，に関しても < i.e. > で表される．いま，を考えると をみたすようなは ① である．また < をみたすようなは ② とわかる．そして，より < で表…

とする．このとき ① ② を考える．まず，①についてを加法群で考え と置く．このとき，は加法群であり，より i.e. である． 次に②について，いま，剰余類の集合を と置けばは群を成す． (証明) の演算に関してその和を で定める． (ア) 結合律 と置くとき，を…

- とする．このとき，はの部分群である． (証明) まず，条件を考え と置けば である． いま，は加法群でもあるから上 (仮定) と置ける．とより，は部分群の条件をみたす． 以上よりはの部分群である．▢ 補足 について，に対してを定義しているので，たとえが…

とする．このとき ① ② が成立する． (証明) ①について 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1,2 (4) 3. ∧-除去 1,2 (5) 3. ∧-除去 1 (6) 4-5. →-導入 1 (7) 4,6. →-除去 (8) 4-7. →-導入 ②について 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1,2 (4…

-の公理 i.e. とする．このとき (1) (2) (3) (4) と置く．より -という(P∧Qは公理) -加群の意義 とする．このとき (1) (2) (3) (4) が成立する．なぜなら，は環であるので(左)-加群の公理をみたすから．これより，を-加群ということができる． 部分加群の意…

とする． 問 太郎は前から5番目である．太郎の後ろには6人いる．全体で何人いるか？ (解答) と置く．このときより したがって全体は11人から構成される．▢

とする．このとき > をみたす最大の自然数の値を求めよ． (解答) > と置く．そのとき不等式の性質より両辺に12を掛けると > 両辺を同類項で整理して > 不等式の性質から両辺のマイナスを除いて不等号を反転させ < である．そして，同一の原理よりは常に成り…

とする． 問 実数 < に対して，次の2数を不等式で表せ． (解答) と置く．このとき，条件 < で不等式の性質より < であるから < を得る．そして，公理より，この関係は常に成立する． ☆ 補足 この問題の結論は < を意味する． 問 次の不等式を解け． > (解答)…

とする． 問 (1) 7の平方根はであることは正しいか？ (解答) と置く．このとき平方根の定義から，次のような計算をする： i.e. i.e. であるから公理よりは常に正しい．▢ ☆補足 この論証に仮定は無いので全称判断としても正しい，と言えるからは「常に」正し…

とする． 問 (1) 循環小数を分数で表せ． (解答) と置く．このとき，等号の性質より両辺を10倍して i.e. で表す．さらにを考えると i.e. i.e. であり公理より を得る．▢ (2) 30/7を小数で表したとき，小数第100位の数字を求めよ． (解答) より と置く．この…

とする．このとき次の不等式 < < < < に対しての値を求めよ． (解答) まず，に対して∧-除去よりを考える．このとき < であるから > と書ける． 次に，同様にしてを考えれば < > である．それゆえ，∧-導入より < < と書ける．いまについて < < を得る．▢

とする．このとき次の多項式を展開せよ． (解答) と置く．このとき を得る．▢

とする． 問 次の計算をせよ． (解答) と置く．このとき を得る．▢

とする． 問 次の計算をせよ． (解答) と置く．このとき で表される．▢

とする． 問 次の多項式に関して，の降冪の順に並べ換えろ． (解答) と置く．このとき で表示できる．▢

問 多項式は何次式か． (解答) と置く．このとき であり，多項式の次数は最高次である．したがってより は4次式であることがわかる．▢

とする． 問 次の単項式の次数と係数とをいえ． (解答) と置く．このとき と表示できる．▢ ☆ による．

に対して < < と置き < < であることを示す． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1 (4) 1-3. →-導入 1 (5) 3. ∧-除去 1 (6) 3. ∧-除去 (7) 5-6. →-導入 (8) 5,6. ∧-導入 したがって が成立する．▢

とする． 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 3 (3) 仮定 1,2 (4) 1,2. →-除去 1,2 (5) 4. ∧-除去 2 (6) 2-3. →-導入 (7) 2-5. →-導入 したがって を得る．▢

とする．このときを展開せよ． (解答) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1 (3) 1. ∀-除去 2 (4) 2. ∀-除去 (5) =-導入 (6) =-導入 (7) 3-5. ⇒-導入 (8) 4-6. ⇒-導入 (9) =-導入 (10) ∀-導入 ゆえに が成立する．▢ ☆補足 物理学や素朴集合論のことを考えるとが何処に属…

文論理 とする． 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 3 (3) 仮定 1,2 (4) 1,2. →-除去 1,3 (5) 1,3. →-除去 1,2 (6) 4-5. →-導入 1,2 (7) 5,6. →-除去 1 (8) 4-7. →導入 1 (9) 4,8. →-除去 (10) 4-9. →-導入 したがって ,, を得る．▢ 一階述語論理 とする． 1 (1) 仮定 2…

問 36人の組で，弟と妹の有無ついて調べた．弟がいる人は16人，妹がいる人は10人，弟も妹もいない人は13人だった．弟も妹もいる人は何人ですか？ (解答) i.e. 仮定 i.e. 仮定 i.e. 仮定 i.e. 仮定 とする．このとき を求めたい． ① 山積 より ⇒-導入 ⇒-導入 …

仮定 仮定 とする．このとき (1) (2) (3) (4) の値を求めよ． (解答) ∀-除去 ∀-除去 に対して である． (1)について (ア) より ⇒-導入 ⇒-導入 という操作をする． (イ) より ⇒-導入 ⇒-導入 である．(ア),(イ)の論証に仮定はないので，∀-導入適用可能である．…

とする． 問 和菓子屋で，団子1個と煎餅3枚を買うと260円，団子2個と煎餅8枚を買うと620円である．それぞれ1つの値段はいくらか？ (解答) 団子の個数を(仮定)，煎餅の個数を(仮定)と置く．そして，条件より次のような方程式を立てる． 山積 を立てる．このと…

自由変数でしか考えていない(実質的にパラメタと変わらない限量記号による数学)数学は意味がないので，算数からやり直す． とする． 問 太郎はクイズをした．1問正解すると5点，不正解だと2点引かれる．太郎には予め40点が与えられている．そして，20問のク…

問 を分数で表せ． (解答) 仮定 と置く．このときすなわち ∀-除去 を考え，との差をとれば より ⇒-導入 i.e. ここで，論証に仮定はないので，に対して∀-導入適用可能である．すなわち ∀-導入 を得る．▢

問 1個80円の消しゴムと1個120円のペンを合わせて16個買うと，その代金は1560円になる．それぞれ何個ずつ買ったか？ (解答) 仮定 仮定 とする．このとき次のような方程式を立てる． ∀-除去 ∀-除去 これを解けば ⇒-導入 ⇒-導入 であるから i.e. ∀-導入 ∀-導入…