情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

算数のやり直し3

高校数学

$x,y,z,......：束縛変数$

$a,b,c,......：パラメタ$

$x:=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ 　　仮定

$y:=\displaystyle\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ 　　仮定

とする．このとき

(1)　 $x+y, xy$

(2)　 $x^2+y^2$

(3)　 $x^4y^2+x^2y^4$

(4)　 $x^3+y^3$

の値を求めよ．

(解答)

$a=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ 　　∀-除去

$b=\displaystyle\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ 　　∀-除去

に対して

$a=\displaystyle\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt{2}$

$b=\displaystyle\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}=3-2\sqrt{2}$

である．

(1)について

(ア)

$a+b=6$ より

$a=3+2\sqrt{2}　⇒　a+b=6$ 　　⇒-導入

$b=3-2\sqrt{2}　⇒　a+b=6$ 　　⇒-導入

という操作をする．

(イ)

$ab=1$ より

$a=3+2\sqrt{2}　⇒　ab=1$ 　　⇒-導入

$b=3-2\sqrt{2}　⇒　ab=1$ 　　⇒-導入

である．(ア),(イ)の論証に仮定はないので，∀-導入適用可能である．したがって

$x+y=6$ 　　∀-導入　(ア)

$xy=1$ 　　∀-導入　　(イ)

を得る．

(2)について

$a^2+b^2=34$ 　　(1)による

より

$a=3+2\sqrt{2}　⇒　a^2+b^2=34$ 　　⇒-導入

$b=3-2\sqrt{2}　⇒　a^2+b^2=34$ 　　⇒-導入

と表す．(1)と同様の理由で

$x^2+y^2=34$ 　　∀-導入

と成る．

(3)について

$a^4b^2+a^2b^4=34$ より

$a=3+2\sqrt{2}　⇒　a^4b^2+a^2b^4=34$ 　　⇒-導入

$b=3-2\sqrt{2}　⇒　a^4b^2+a^2b^4=34$ 　　⇒-導入

である．(1),(2)と同様に

$x^4y^2+x^2y^4=34$ 　　∀-導入

と書ける．

(4)について

$a^3+b^3=198$ より，これまでと同様にして

$x^3+y^3=198$ 　　∀-導入

で表示できる．▢

☆補足

$a=3+2\sqrt{2}　⇒　a+b=6$ 　とはどういう意味か？

$3+2\sqrt{2}+b=6$ 　i.e.　 $b=6-3-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}$

であるから

$b=3-2\sqrt{2}$

である．つまり， $a=3+2\sqrt{2}$ を仮定すると $b=3-2\sqrt{2}$ が導出される，という意味だ．同じくして $b=3-2\sqrt{2}$ を仮定すると， $a=3+2\sqrt{2}$ が導き出されるので

$b=3-2\sqrt{2}　⇒　a+b=6$

は正しいことがわかる．