多項式の論理計算について - 情報統合思念体への手紙

$x,y,z,......：束縛変数$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．このとき $(x+1)^2$ を展開せよ．

(解答)

1　　(1)　 $∀x∈\mathbb{R}［(x+1)^2］$ 　　仮定

2　　(2)　 $∀x∈\mathbb{R}［x^2+2x+1］$ 　　仮定

1　　(3)　 $(a+1)^2$ 　　1. ∀-除去

2　　(4)　 $a^2+2a+1$ 　　2. ∀-除去

　　 (5)　 $(a+1)^2=(a+1)(a+1)$ 　　=-導入

　　 (6)　 $a^2+2a+1=(a+1)(a+1)$ 　　=-導入

　　 (7)　 $(a+1)^2　⇒　(a+1)^2=(a+1)(a+1)$

3-5. ⇒-導入

　　 (8)　 $a^2+2a+1　⇒　a^2+2a+1=(a+1)(a+1)$

4-6. ⇒-導入

　　 (9)　 $(a+1)^2=a^2+2a+1$ 　　=-導入

　　 (10)　 $∀x∈\mathbb{R}［(x+1)^2=x^2+2x+1］$ 　　∀-導入

　ゆえに

$∀x∈\mathbb{R}［(x+1)^2］, ∀x∈\mathbb{R}［x^2+2x+1］$

$\vdash ∀x∈\mathbb{R}［(x+1)^2=x^2+2x+1］$

が成立する．▢

☆補足

　物理学や素朴集合論のことを考えると $x$ が何処に属するのか，ということは無視した方がよい気もする．たとえば，古典力学で集合の明示はないし，ラッセルのパラドックスのような問題もあるから．とくに時間はどのような集合で表されるのか，という問題があるだろう．