情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

文論理と一階述語論理とが一致するように仮定を消去する方法

論理学

文論理

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．

1　　(1)　 $P$ 　　仮定

2　　(2)　 $P→Q$ 　　仮定

3　　(3)　 $P→R$ 　　仮定

1,2　 (4)　 $Q$ 　　1,2. →-除去

1,3　 (5)　 $R$ 　　 1,3. →-除去

1,2　 (6)　 $Q→R$ 　　4-5. →-導入

1,2　 (7)　 $R$ 　　5,6. →-除去

1　　(8)　 $Q→R$ 　　4-7. →導入

1　　(9)　 $R$ 　　4,8. →-除去

　　 (10)　 $Q→R$ 　　4-9. →-導入

　したがって

$P$ , $P→Q$ , $P→R \vdash Q→R$

を得る．▢

一階述語論理

$x,y,z,......：束縛変数$

$a,b,c,......：パラメタ$

$F,G,H,......：述語記号$

とする．

1　　(1)　 $∀xFx$ 　　仮定

2　　(2)　 $∀x［Fx→Gx］$ 　　仮定

3　　(3)　 $∀x［Fx→Hx］$ 　　仮定

1　　(4)　 $Fa$ 　　1. ∀-除去

2　　(5)　 $Fa→Ga$ 　　2. ∀-除去

3　　(6)　 $Fa→Ha$ 　　3. ∀-除去

1,2　 (7)　 $Ga$ 　　4,5. →-除去

1,3　 (8)　 $Ha$ 　　4,6. →-除去

1,2　 (9)　 $Ga→Ha$ 　　7-8. →-導入

1,2　 (10)　 $Ha$ 　　7,9. →-除去

1　　(11)　 $Ga→Ha$ 　　7-10. →-導入

1　　(12)　 $Ha$ 　　7,11. →-除去

　　 (13)　 $Ga→Ha$ 　　7-12. →-導入

　　 (14)　 $∀x［Gx→Hx］$ 　　13. ∀-導入

　それゆえ

$∀xFx$ , $∀x［Fx→Gx］$ , $∀x［Fx→Hx］ \vdash ∀x［Gx→Hx］$

と成る．▢