情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

像，核，余像，余核の意義と性質

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$パラメタ$

$f:M→N$ 　 $Λ$ -準同型

$\mathrm{Im}f:=f(M)$ 　 $f(M)はMの像$

$\mathrm{Ker}f:=f^{-1}(0)$ 　0の逆像 $f^{-1}(0)=\{x∈M|f(x)=0\}$

とする．

$fの余像と余核$

$\mathrm{Coim}f:=M/\mathrm{Ker}f$ 　　余像

$\mathrm{Coker}f:=N/\mathrm{Im}f$ 　　余核

で定める．とくにこれらの内包は

$x+\mathrm{Ker}f∈\mathrm{Coim}f$ に関して $x+\mathrm{Ker}f=\{x+y|x∈M\}$

であり，余像の要素は

$x∈x+\mathrm{Ker}f$ に対して $x+y=z∈M$ 　(とくに $M$ は加法群)

で表される．もちろん， $f(y)=0$ である．

☆　集合の要素の要素 $z∈x+\mathrm{Ker}f∈\mathrm{Coim}f$ について

　私の見解は，うそつき村問題はなかったと考えるので，ラッセルの背理は起こらず，このような集合の要素の要素という構成はできる，と思われる．

$x+\mathrm{Im}f∈\mathrm{Coker}に対してx+\mathrm{Im}f=\{x+f(y)|x∈N\}$

性質

(1)　 $fが単準同型\dashv\vdash \mathrm{Ker}f=0$

(2)　 $fが全準同型\dashv\vdash \mathrm{Coker}f=0$

(1)について

(設計)

$P：fが単準同型$

$Q：\mathrm{ker}f=0$

と置く．このとき $P\dashv\vdash Q$ より

$P\dashv\vdash Q：fが単準同型のとき，そのときに限り\mathrm{Ker}f=0$

である．

(仕組)

(ア)　 $P\vdash Q$

　 $f$ が単準同型写像であるとき $x\mapsto x(fが単射)$ であり，とくに

$0\mapsto 0$

であるから

$f(x)=0$ 　i.e.　 $f(0)=0$ 　　(零元の性質， $f(0)は0にのみ写る$ )

と成る．

　したがって $\mathrm{Ker}f=0$ である．

(イ)　 $Q\vdash P$

　 $\mathrm{Ker}f=0$ のとき，写像は $0\mapsto 0$ という対応のみであるので，このような1つの写像は単射である，と看做す．

　したがって(イ)をいえる．

(2)について

(設計)

$P：fが全準同型$

$Q：\mathrm{Coker}f=0$

と置く．このとき $P\dashv\vdash Q$ より

$P\dashv\vdash Q：fが全準同型のとき，そのときに限り\mathrm{Coker}f=0$

が成り立つ．

(仕組)

(ア)　 $P\vdash Q$

　 $f$ が全準同型であるとすると

$\mathrm{Coker}f=N/\mathrm{Im}f=\mathrm{Im}f/\mathrm{Im}f=N/N$

である．ここで $N/N$ の内包は

$N/N=\{n+n|n∈N\}$

で表される．このとき $N=0$ を計算する．零元の性質 $0+0=0$ より

$N/N=N=0$

と書ける．

　したがって，余核 $\mathrm{Coker}f=0$ である．

(イ)　 $Q\vdash P$

　余核 $\mathrm{Coker}f=0$ であるとする．このとき $f$ が全射であることを示したい．そのために， $f(M)⊆N$ は $M$ の像の定義により成立するので，逆の $N⊆f(M)$ を計算する．いま，余核は零加群すなわち $N/\mathrm{Im}f=0$ であるので $0∈\mathrm{Coker}f$ に対して

☆　補足

$0+f(0)∈\mathrm{Coker}f$

零元の性質： $f(0)=0，0+0=0$ より

$0∈\mathrm{Coker}$

と書ける．

$Λ$ -加群 $M$ をとくに加法群と看做すとき $0∈M$ であるので

$0∈\mathrm{Coker}f→0=f(0)∈f(M)$ 　　　 $f(M)=\{f(x)|x∈M\}$

である．

　したがって， $N⊆f(M)$ が成立する．▢

P -||- Q

論理学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき

$P\dashv \vdash Q$

が成立する．

(証明)

1　　(1)　 $P$ 　　仮定

2　　(2)　 $P→Q$ 　　仮定

1,2　 (3)　 $Q$ 　　1,2. →-除去

1　　(4)　 $Q→P$ 　　1-3. →-導入

1　　(5)　 $P$ 　　3,4. →-除去

　　 (6)　 $P→Q$ 　　3-5. →-導入

　　 (7)　 $Q$ 　　5,6. →-除去

☆　逆も同様に示される．▢

P→Q -||- Q→P

論理学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき

$P→Q\dashv \vdash Q→P$

が成立する．

(証明)

1　　(1)　 $P$ 　　仮定

2　　(2)　 $P→Q$ 　　仮定

1,2　 (3)　 $Q$ 　　1,2. →-除去

1　　(4)　 $P→Q$ 　　1-3. →-導入

1　　(5)　 $Q$ 　　1,4. →-除去

　　 (6)　 $Q→P$ 　　1-5. →-導入

☆　逆も同様に示される．▢

左Λ-準同型写像に関する誘導写像の性質

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$f,f_1,f_2:(M',M)→(N',N)　左Λ$ -準同型写像

$g:(N',N)→(P'P)　左Λ$ -準同型写像

とする．このとき次が成立する．

(設計)

$Pは　f_1+f_2:(M',M)→(N'N)$

$Q：(f_1+f_2)^*=f_{1}^*+f_{2}^*$

$Rは　gf:(M',M)→(P'P)$

$S：(gf)^*=g^*f^*$

$T：(λf)^*=λf^*$

と置く． $P,Q,R,S,T\vdash P∧Q, R∧S, T→T$ より

$P∧Q, R∧S, T→T：このような誘導写像の性質が成立する$

(仕組)

(ア)　 $P$ について

　左 $Λ$ -加群から左 $Λ$ -加群への

$f, f_1, f_2:M→N$ 　左 $Λ$ -準同型写像

に対して $f:=f_1+f_2$ と定めると $f∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ と書けることは以前示した．

(イ)　 $Q$ について

　 $f_1,f_2$ の誘導写像 $f_{1}^*, f_{2}^*$ に関して

$(f_1+f_2)^*=f_1+f_2$

$f_{1}^*+f_{2}^*=f_1+f_2$

$N→N/N',　f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$ 　　( $x∈M, \bar{x}∈M/M'$ )

による．

(ウ)　 $R$ について

　合成写像

$gf:=g(f(x))$ 　　( $x∈M$ )

$M→N→P,　x\mapsto f(x)\mapsto gf(x)$

による．

(エ)　 $S$ について

$(gf)^*=gf$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$g^*=g$

$f^*=f$

より $(gf)^*=g^*f^*$ である．

(オ)　 $T$ について

$(λf)^*=λf$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$λf^*=λf$

による．

☆　補足

　 $Λ$ の可換性を用いることがなかったので， $Λ$ は非可換環である，と考える．

絶対値の式を簡単にする問題

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．このとき，パラメタ $a∈\mathbb{R}$ に対して

$\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2|$

を簡単にせよ．

(設計)

$\sqrt{9a^2-6a+1}=\sqrt{(3a-1)^2}=|3a-1|$

と計算をする．また

$3a-1=0$ 　i.e.　 $a=\displaystyle\frac{1}{3}$

$a+2=0$ 　i.e.　 $a=-2$

より，パラメタ $a∈\mathbb{R}$ の範囲を決める．

$P：|3a-1|+|a+2|$

$Q：a$ > $\displaystyle\frac{1}{3}$

$R：-2≤a$

$S：a≤\displaystyle\frac{1}{3}$

$T：a$ < $-2$

と置く．いま $P,Q,R∧S,T\vdash P∧(Q∨(R∧S)∨T)$ より

$P∧(Q∨(R∧S)∨T)：4a+1∨-2a+3∨-4a-1$

が求める答えである．

(仕組)

①　 $P,Qについて$

$a$ > $\displaystyle\frac{1}{3}$ 　i.e.　 $3a-1$ > $0,$ 　 $a+2$ > $0$ から

$|3a-1|+|a+2|=(3a-1)+(a+2)$

による．

②　 $P, R∧Sについて$

$-2≤a≤\displaystyle\frac{1}{3}$ 　i.e.　 $3a-1≤0,　a+2≥0$ から

$|3a-1|+|a+2|=-(3a-1)+(a+2)$

による．

③　 $P,Tについて$

$a$ < $-2$ 　i.e.　 $3a-1$ < $0,$ 　 $a+2$ < $0$ から

$|3a-1|+|a+2|=-(3a-1)-(a+2)$

による．

P,Q,R∧S,T |- P∧(Q∨(R∧S)∨T)

論理学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき

$P,Q,R∧S,T \vdash P∧(Q∨(R∧S)∨T)$

が成立する．

(証明)

1　　　　(1)　 $P$ 　　仮定

2　　　　(2)　 $Q$ 　　仮定

3　　　　(3)　 $R∧S$ 　　仮定

4　　　　(4)　 $T$ 　　仮定

3　　　　(5)　 $R$ 　　3. ∧-除去

3　　　　(6)　 $S$ 　　3. ∧-除去

2, 3×　 (7)　 $Q→R$ 　　2-5. →-導入

2×　　　 (8)　 $R$ 　　2,7. →-除去

　　　　 (9)　 $R∧S$ 　　6,8. ∧-導入

　　　　 (10)　 $Q∨(R∧S)$ 　　9. ∨-導入

4×　　　 (11)　 $R∧S→T$ 　　4-10. →-導入

　　　　 (12)　 $T$ 　　9,11. →-除去

　　　　 (13)　 $Q∨(R∧S)∨T$ 　　12. ∨-導入

1　　　　(14)　 $P∧(Q∨(R∧S)∨T)$ 　　1,13. ∧-導入

1×　　　 (15)　 $T→P∧(Q∨(R∧S)∨T)$ 　　12-14. →-導入

　　　　 (16)　 $P∧(Q∨(R∧S)∨T)$ 　　12,15. →-除去

図式が可換であること

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$f:M→N$ 　 $Λ$ -準同型写像

$M'⊆M(とくに正規部分群)$

$M'：Mの部分加群$

$M'はNの零元に写像する$

i.e.　 $(M',M)→(0,N)$ 　順序対の写像

i.e.　 $f^*:M/M'→N　fの誘導写像$

とする．このとき， $f^*n=f$ という図式は可換である．但し $n$ とは $M$ の自然写像である．

☆　補足

　 $M'$ の元はすべて $N$ の零元であるので， $M$ に置ける $M'$ の剰余類及びその元は

$x+M'∈M/M'$ 　　( $x∈M$ )　　i.e.　 $x+0=x∈N$

で表示される．

(設計)

$P：f^*はfの誘導写像$

$Q：f^*n=f$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ より

$P∧Q：図式は可換$

である．

(仕組)

　 $f^*n=f$ を計算する．パラメタ $x∈M$ に対して

$f^*n(x)$

$=f^*(n(x))$ 　　合成写像の定義

$=f^*(x)$ 　　　 $x\mapsto n(x)$ 　①

$=f(x)$ 　　　　 $x\mapsto f(x)$ 　②

である．

　したがって $f^*n=f$ が成立する．　▢

☆　補足

①について

　 $x$ は $n(x)$ に対応付けられているので， $n(x)$ から $x$ に引き戻す．

②について

　引き戻された $x$ は $f(x)$ に対応している．