情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

Hom(M,N)が加法群であること

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．

　前回， $f_1,f_2:M→N, f(x):=f_1(x)+f_2(x)$ が $Λ$ -準同型写像であることを確かめた．これは $f_1,f_2$ について， $Λ$ -準同型写像の加法 $f_1+f_2$ を定めたことに成る．いま， $Λ$ -準同型写像 $M→N$ の集合

$\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$

を考えると，演算 $f_1+f_2$ に対して，これは加法群を成す．

(証明)

Ⅰ.　結合律

$P：f_1,f_2,f_3∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)について$

　　　 $(f_1+f_2)+f_3=f+f_3　　(f:=f_1+f_2)$

$Q：f_1,f_2,f_3∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)に関して$

　　　 $f_1+(f_2+f_3)=f_1+g　　(g:=f_2+f_3)$

$R：f+f_3=f_1+gとなるようにf,g,f_1,f_3$ を選ぶ(パラメタの自在性)すなわち $f=gあるいはf_1=f_3$

と置く．このとき， $P,Q,R\vdash P∧Q∧R$ より

$P∧Q∧P：(f_1+f_2)+f_3=f_1+(f_2+f_3)$

が成立する．

Ⅱ.　単位元(零元)

$P：0:=f(0)$

$Q：f+0=f$

$R：f+0=0+f$

と置く． $P,Q,R\vdash P∧Q∧R$ より

$P∧Q∧R：\mathrm{Hom}_Λ(M,N)の単位元が存在する$

と成る．実際

(ア)　 $f+0=f$

$f+0=f(x)+f(0)$

$=f_1(x)+f_2(x)+f_1(0)+f_2(0)$

$=f_1(x)+f_1(0)+f_2(x)+f_2(0)$

$=f_1(x+0)+f_2(x+0)$

$=f_1(x)+f_2(x)$ 　　 $x+0=x∈M(Mは加法群)$

$=f(x)$

$=f$

i.e.　 $f+0=f$

が成り立つ．

(イ)　 $f+0=0+f$

　(ア)より $f+0=f$ であるから，同様にして $0+f=f$ である．したがって $f+0=0+f$ が成立する．

Ⅲ.　逆元

$P：f$

$Q：-f:=f(-x)$

$R：f-f=0$

$S：f-f=-f+f$

と置く．このとき $P,Q,R,S\vdash P∧Q∧R∧S$ より

$P∧Q∧R∧S：\mathrm{Hom}_Λ(M,N)に逆元が存在する$

と表される．というのも

(ア)　 $R$ について

$f+(-f)$

$=f_1(x)+f_2(x)+f_1(-x)+f_2(-x)$

$=f_1(x)+f_1(-x)+f_2(x)+f_2(-x)$

$=f_1(x-x)+f_2(x-x)$

$=f_1(0)+f_2(0)$

$=f(0)$

$=0$

i.e.　 $f+(-f)=f-f=0$

と書けるからである．

(イ)　 $S$ について

　(ア)と同様にして $-f+f=0$ が成り立つ．

　以上より，準同型写像の集合 $\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ は加法群を成す．▢