情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

センテンス 11　平方根

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．

問　(1)　7の平方根は $±\sqrt{7}$ であることは正しいか？

(解答)

$P：7の平方根は±\sqrt{7}である$

と置く．このとき平方根の定義から，次のような計算をする：

$P：(±\sqrt{7})^2$ 　i.e.　 $(+\sqrt{7})^2∨(-\sqrt{7})^2$ 　i.e.　 $7∨7$

であるから公理 $P∨P, P\vdash P$ より $P$ は常に正しい．▢

☆補足

　この論証に仮定は無いので全称判断としても正しい，と言えるから $P$ は「常に」正しい．

問　(2)　次の式を計算せよ．

$6\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2}$

(解答)

$P：6\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2}$

と置く．このとき

$P： 6\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}+3\sqrt{2}-8\sqrt{2}=9\sqrt{2}-8\sqrt{2}=\sqrt{2}$

であり，公理 $P \vdash P$ から

$P：6\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}$

は常に成り立つ．▢

問　(3)

$x:=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},　y:=\displaystyle\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

に対して，次の式の値を求めよ．

(ア)　 $x+y$

(イ)　 $xy$

(解答)

(ア)について

$P：x+y$

と置く．このとき

$x=\displaystyle\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt{2}$

$y=\displaystyle\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}=3-2\sqrt{2}$

であるから

$P：x+y=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$

を得る．そして，公理 $P \vdash P$ よりこれは常に成り立つ．

(イ)について

$Q：xy$

と置く．このとき(ア)の計算から

$xy=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$

である．そして，公理 $P \vdash P$ からこの計算は常に正しい．▢