情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

Λ-準同型写像の意義

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$M,N：(左)Λ$ - $加群$

$f:M→N (写像)$

とする．

☆　写像とは何か？

　ここでは，言葉の意味について考えることはない．それが「抽象」である．たとえば(左) $Λ$ -加群とは何か？　と言われたとしよう．私は(今覚えている限りで)

①　 $λ(x_1+x_2)=λx_1+λx_2$

②　 $(λ_1+λ_2)x=λ_1x+λ_2x$

③　 $λ_1(λ_2x)=(λ_1λ_2)x$

④　 $1x=x$

をみたすような $λ,λ_1,λ_2∈Λ(非可換環)$ 及び $x,x_1,x_2∈M(加法群)$ である，と答えたとする．では，非可換環とは何か？　加法群とは何か？　群とは何か？　二項演算とは何か？　順序対とは何か？　直積集合とは何か？　集合とは何か？　というように用語の意味を遡り続けることになる(第一原因への言及)．そして，最も重要なことは記憶というのは忘却するものである，ということだ．

　もし，仮に①から④を答えたからといって， $Λ$ -加群の意味を知っている訳ではない．私は $Λ$ -加群の性質・作用を知っているだけで，「その物自体」をわからない．それゆえ， $Λ$ -加群それ自体に意味はない，と考える．私はこの無意味な物自体への質問を禁止する．私はただ $Λ$ -加群というものを受け入れて，ただその物がもつ性質や作用を書くのみである．

　これより，抽象代数学での用語について物自体への質疑を禁ずる．もし，そのような問い質しがあれば，その質問者に対して事物の第一原因を答えて貰う．そして，集合や写像を考えるうえで，逐一その要素を考えたり，表示したりすることも止める．それが事物を抽象化する，ということに繋がると思うからだ．

　このとき

$P：f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$

$Q：f(λx)=λf(x)$

と置き， $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：写像fを(左)Λ$ -準同型写像

という．

例1

$N：Mの部分加群$

とする．このとき，包含写像 $M→N$ は $(左)Λ$ -準同型写像である．

(理由)

$P：f(x_1+x_2)=x_1+x_2=f(x_1)+f(x_2)$

$Q：f(λx)=λx=λf(x)$

と置き $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：包含写像は(左)Λ$ -準同型写像である

を得る．▢

例2

$N：Mの部分加群$

とする．このとき，自然写像 $M→M/N$ は $Λ$ -準同型写像である．

(理由)

$P：f(x_1+x_2)=\overline{x_1+x_2}$

$=\bar{x_1}+\bar{x_2}$ 　　(剰余群の演算)

$=f(x_1)+f(x_2)$

$Q：f(λx)=\overline{λx}=λ\bar{x}=λf(x)$

と置き $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：自然写像はΛ$ -準同型写像である

がわかる．▢

例3

$f:M→N （(左)Λ$ - $準同型）$

$g:N→P （(左)Λ$ - $準同型）$

とする．このとき $f,g$ の合成写像 $gf:M→P$ も $(左)Λ$ -準同型写像である．

(理由)

$P：gf(x_1+x_2)=g(f(x_1+x_2))=g(f(x_1)+f(x_2))=gf(x_1)+gf(x_2)$

$Q：gf(λx)=g(f(λx))=g(λf(x))=gλf(x)=λgf(x)$

と置く． $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：f,gの合成写像は(左)Λ$ -準同型写像である

による．▢

例4

$f_1,f_2:M→N$ 　( $(左)Λ$ - $準同型$ )

とする．このとき

$f(x):=f_1(x)+f_2(x)$

と置くと $f(x)∈N$ である．いま

$f:M→N$

と書け， $f$ は $(左)Λ$ -準同型写像を成す．

(理由)

①　 $f(x)∈N$ であること

$P：f_1(x)∈N$

$Q：f_2(x)∈N$

$R：f_1,f_2:M→N$

$S：x:=0$

と置く．このとき $P,Q,R,S\vdash P∧Q∧R∧S$ より

$f_1(x)+f_2(x)=f_1(0)+f_2(0)=0+0=0∈N$ 　i.e.　 $f(x)∈N$

であることがわかる．▢

②　 $fは(左)Λ$ -準同型写像であること

(ア)　 $f(x+y)=f(x)+f(y)$

(イ)　 $f(λz)=λf(z)$

を説明する．

(理由)

(ア)について

$P：f(x)=f_1(x)+f_2(x)$

$Q：f(y)=f_1(y)+f_2(y)$

$R：z:=x+y$

と置く． $P,Q,R\vdash P∧Q∧R$ より

$P∧Q∧R：f(x)+f(y)$

$=f_1(x)+f_2(x)+f_1(y)+f_2(y)$

$=f_1(x)+f_1(y)+f_2(x)+f_2(y)$

$=f_1(x+y)+f_2(x+y)$

$=f_1(z)+f_2(z)$

$=f(z)$

$=f(x+y)$

がわかる．

(イ)について

$P：f(λx)=f_1(λx)+f_2(λx)=λf_1(x)+λf_2(x)$

$Q：λf(x)$

$=λ(f_1(x)+f_2(x))$

とくに $NはΛ$ -加群で $λf(x),f_1(x),f_2(x)∈N$ であるから

$=λf_1(x)+λf_2(x)$

と置く． $P,Q\vdash P∧Q$ より

$P∧Q：f(λx)=λf(x)$

を得る．▢