情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

剰余加群の意義

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$M/N：剰余群$

$m+N∈M/N：Mに置けるNの剰余類$

とする．このとき $M/N$ は $Λ$ -加群を成す．

(説明)

　 $N$ は $Λ$ -加群 $M$ の部分加群であるから

$x_1+x_2∈N$ 　　( $x_1+x_2∈M$ )

$λx∈N$ 　　( $λ∈Λ，x∈M$ )

という性質をもつ．このとき

(ア)　 $x_1,x_2∈m+Nに対してx_1-x_2∈N$ が成立する．

(証明)

$P：x_1∈m+N$ 　i.e.　 $x_1+n$

$Q：x_2∈m+N$ 　i.e.　 $x_2+n$

と置く．このとき $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：(x_1+n)-(x_2+n)=(x_1-x_2)+n-n=x_1-x_2$

である．とくに $N$ は $M$ の部分群であるから

$P∧Q：x_1-x_2∈N$

と成る．▢

(イ)　 $λ(x_1-x_2)=λx_1-λx_2∈N$ が成立する．

(証明)

　(ア)より $x_1-x_2∈N$ である．いま， $λ∈Λ$ に対して $Λ$ -加群でいう「積」 $λx$ を考える．(とくに)パラメタ $x,y,z∈N$ に対して

$P：λ(x_1-x_2)$ 　　( $x:=x_1-x_2$ )　　i.e.　 $λx∈N$

$Q：λx_1-λx_2$ 　　( $y:=x_1,z:=x_2$ )　　i.e.　 $λy-λz∈N$

と置き $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：λ(x_1-x_2)=λx_1-λx_2∈N$

となるような $x,y,z$ を定義すればよい．▢

　そして， $x∈m+N$ について

$\bar{x}:=m+N$

と置く．このとき(イ)の結果から $λ(m+N)=λm+N$ であるので

$λ\bar{x}:=\overline{λx}$ 　　( $Λ$ -加群でいう積)

という演算を定めると剰余群 $M/N$ は $Λ$ -加群を成し，これを $N$ を法とする $M$ の剰余加群と呼ぶ．また，

$M→M/N, x\mapsto \bar{x}$

を $Λ$ -加群 $M$ から剰余加群 $M/N$ への自然写像という．