情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

加法群に置ける剰余類とその群

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$M：加法群$

$N⊆M$

$N：Mの部分群$

とする．このとき

①　 $Mに置けるNの剰余類$

②　 $剰余群の構成$

を考える．まず，①について $M,N$ を加法群で考え

$P：m∈Mに対してm+N:=\{m+n|n∈N\}　(左剰余類)$

$Q：m∈Mに対してN+m:=\{n+m|n∈N\}　(右剰余類)$

と置く．このとき， $M,N$ は加法群であり， $P,Q \vdash P∧Q$ より

$P∧Q：m+N=N+m$ 　i.e.　 $Nは正規部分群$

である．

　次に②について，いま，剰余類の集合を

$R：M/N:=\{m+N|m∈M\}$

と置けば $M/N$ は群を成す．

(証明)

　 $M/N$ の演算に関してその和を

$P：(m_1+N)+(m_2+N):=(m_1+m_2)+N$ 　

で定める．

(ア)　結合律

$S：m_1+N, m_2+N, m_3+Nに対して$

$（(m_1+N)+(m_2+N)）+(m_3+N)$

$T：m_1+N, m_2+N, m_3+Nに対して$

$(m_1+N)+（(m_2+N)+(m_3+N)）$

と置くとき， $S∧P∧K=T∧P∧L$ を示す．

　 $S,P,K\vdash S∧P∧K$ より

$S=（(m_1+m_2)+N）+(m_3+N)$

$K：k:=m_1+m_2$

$S∧P∧K=(k+N)+(m_3+N)=(k+m_3)+N$

$(k+m_3∈M)$

と書ける．

　一方， $T,P,L\vdash T∧P∧L$ から

$T=(m_1+N)+（(m_2+m_3)+N）$

$L：l:=m_2+m_3$

$T∧P∧L=(m_1+N)+(l+N)=(m_1+l)+N$

$(m_1+m∈M)$

である．ここで， $m_1,m_2,m_3,k,l∈M$ は何れもパラメタであるから

$T：t:=k+m_3$

$U：u:=l+m_1$ 　　 $(Mは加法群)$

$V：t=u$

$T,U,V \vdash T∧U∧V$

と成るように置けば(パラメタの自在性による)

$t+N=u+N$

が成立する．

　したがって， $S∧P∧K=T∧P∧L$ であることが示された．

(イ)　単位元(零元)

$S：加法群の元m∈Mに対してMに置けるNの剰余類m+N$

$T：0∈Mについて0+N=N$

と置く．このとき $S,T,P\vdash S∧T∧P$ より

$S∧T∧P：(m+N)+(0+N)=(m+0)+N=m+N$

という性質(群の零元の公理をみたす)をもつ．

　それゆえ，剰余類の集合 $M/N$ の零元は $N$ であることがわかる．

(ウ)　逆元

$S：加法群の元m∈Mに対してMに置けるNの剰余類m+N$

$T：-m∈Mに対して-m+N$

と置く．このとき $S,T,P\vdash S∧T∧P$ より

$S∧T∧P：(m+N)+(-m+N)=(m-m)+N=0+N=N$

が成立する．これは群の逆元の公理をみたすゆえ， $M/N$ の逆元は $-m+N$ である．

　以上より， $M/N$ は群を成し，これを剰余群と呼ぶ．▢