今日は否定について考えた． という文を考える．いま次のようにこの文を分けられる． ① 日常言語 ② 術語 このように普通は意識しないことだが，誰かと議論する時には必要な考え方である．

名辞論理学とは主語を決めて述べる論理学である．そして，このような主部といかなる述部とで構成される文を直観主義論理文と呼ぶ． 例 私は［任意文］

とする．このとき 前述の通りPと￢Pは両立することができないので は不成立である．

とする．このとき が成立する． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. →-除去 1 (4) 1-3. →-導入 1 (5) 3,4. →-除去 (6) 3-5. →-導入 (7) 5,6. →-除去 ☆ 逆も同様に示される．▢

とする．このとき が成立する． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. →-除去 1 (4) 1-3. →-導入 1 (5) 1,4. →-除去 (6) 1-5. →-導入 ☆ 逆も同様に示される．▢

とする．このとき が成立する． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 3 (3) 仮定 4 (4) 仮定 3 (5) 3. ∧-除去 3 (6) 3. ∧-除去 2, 3× (7) 2-5. →-導入 2× (8) 2,7. →-除去 (9) 6,8. ∧-導入 (10) 9. ∨-導入 4× (11) 4-10. →-導入 (12) 9,11. →-除去 (13) 12. ∨-導入…

とする．このとき が成立する． (証明) まず を示す． 1 (1) 仮定 1 (2) 1. ∧-除去 1 (3) 1. ∧-除去 4 (4) 仮定 5 (5) 仮定 1,4 (6) 2,4. →-除去 1,5 (7) 3,5. →-除去 1,4 (8) 5-6. →-導入 1 (9) 4-7. →-導入 1 (10) 6,8. →-除去 1 (11) 7,9. →-除去 (12) 6-…

とする．このとき が結果的に無仮定で成立する(述語論理の∀-導入適用可能)． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. →-除去 1 (4) 1-3. →-導入 1 (5) 1,3. ￢-除去 (6) 1-5. ￢-導入 (7) 7. DN規則

とする．このとき，次の論理式は文論理及び述語論理をみたすように成立する． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1 (3) 1. ∧-除去 1 (4) 1. ∧-除去 1 (5) 3,4. ∧-導入 1 (6) 2-5. →-導入 1 (7) 5,6. →-除去 (8) 5-7. →-導入

とする．このとき ① ② が成立する． (証明) ①について 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1,2 (4) 3. ∧-除去 1,2 (5) 3. ∧-除去 1 (6) 4-5. →-導入 1 (7) 4,6. →-除去 (8) 4-7. →-導入 ②について 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1,2 (4…

に対して < < と置き < < であることを示す． (証明) 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1 (4) 1-3. →-導入 1 (5) 3. ∧-除去 1 (6) 3. ∧-除去 (7) 5-6. →-導入 (8) 5,6. ∧-導入 したがって が成立する．▢

とする． 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 3 (3) 仮定 1,2 (4) 1,2. →-除去 1,2 (5) 4. ∧-除去 2 (6) 2-3. →-導入 (7) 2-5. →-導入 したがって を得る．▢

文論理 とする． 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 3 (3) 仮定 1,2 (4) 1,2. →-除去 1,3 (5) 1,3. →-除去 1,2 (6) 4-5. →-導入 1,2 (7) 5,6. →-除去 1 (8) 4-7. →導入 1 (9) 4,8. →-除去 (10) 4-9. →-導入 したがって ,, を得る．▢ 一階述語論理 とする． 1 (1) 仮定 2…

と置く．このとき (1) i.e. (2) i.e. i.e. TT ① TF ② FT ③ FF ④ に対して，可能世界を考える． (1)について ① ③ ④ (2)について ③ ④ したがって，太郎は犯人ではないことがわかるが，次郎については何とも言えない．

と置く．このとき次の性質をみたすなら，何がいえるのか示せ． (1) (2) (3) (4) i.e. (5) (6) (解答) TTT ① TTF ② TFT ③TFF ④FTT ⑤FTF ⑥ FFT ⑦ FFF ⑧に基づき可能世界を考える． (1)について ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ (2)について ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ (3)について ③ ④ ⑦ ⑧ (4)につ…

とする．このとき以下から言えることは何か？ (1) (2) (3) (4) (解答) 真理表 TTT ① TTF ② TFT ③ TFF ④ FTT ⑤ FTF ⑥ FFT ⑦ FFF ⑧ で可能世界を考える．(3)について，このままだと後件の真理値はFなので，可能世界すべてを消去しなければならず，それだと(1)…

(1) (2) とする．このとき何が言えるか命題論理で犯人を捜せ． (解答) (1)を記号化すると (2)を記号化すると i.e. (ド・モルガンの法則) いま真理値の組合せは ① ② ③ ④ である．このとき (1)の可能世界は①,②,③ (2)の可能世界は③ であるので，両者の共通世界…