とする．このときは-加群を成す． (説明) は-加群の部分加群であるから () () という性質をもつ．このとき (ア) が成立する． (証明) i.e. i.e. と置く．このときより である．とくにはの部分群であるから と成る．▢ (イ) が成立する． (証明) (ア)よりであ…

とする． 問 < をみたすの値をすべて求めよ． (解答) > と置く．このときについて i.e. i.e. と計算できる．他方，に関しても < i.e. > で表される．いま，を考えると をみたすようなは ① である．また < をみたすようなは ② とわかる．そして，より < で表…

とする．このとき ① ② を考える．まず，①についてを加法群で考え と置く．このとき，は加法群であり，より i.e. である． 次に②について，いま，剰余類の集合を と置けばは群を成す． (証明) の演算に関してその和を で定める． (ア) 結合律 と置くとき，を…

- とする．このとき，はの部分群である． (証明) まず，条件を考え と置けば である． いま，は加法群でもあるから上 (仮定) と置ける．とより，は部分群の条件をみたす． 以上よりはの部分群である．▢ 補足 について，に対してを定義しているので，たとえが…

とする．このとき ① ② が成立する． (証明) ①について 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1,2 (4) 3. ∧-除去 1,2 (5) 3. ∧-除去 1 (6) 4-5. →-導入 1 (7) 4,6. →-除去 (8) 4-7. →-導入 ②について 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1,2 (3) 1,2. ∧-導入 1,2 (4…

-の公理 i.e. とする．このとき (1) (2) (3) (4) と置く．より -という(P∧Qは公理) -加群の意義 とする．このとき (1) (2) (3) (4) が成立する．なぜなら，は環であるので(左)-加群の公理をみたすから．これより，を-加群ということができる． 部分加群の意…

とする． 問 太郎は前から5番目である．太郎の後ろには6人いる．全体で何人いるか？ (解答) と置く．このときより したがって全体は11人から構成される．▢

とする．このとき > をみたす最大の自然数の値を求めよ． (解答) > と置く．そのとき不等式の性質より両辺に12を掛けると > 両辺を同類項で整理して > 不等式の性質から両辺のマイナスを除いて不等号を反転させ < である．そして，同一の原理よりは常に成り…

とする． 問 実数 < に対して，次の2数を不等式で表せ． (解答) と置く．このとき，条件 < で不等式の性質より < であるから < を得る．そして，公理より，この関係は常に成立する． ☆ 補足 この問題の結論は < を意味する． 問 次の不等式を解け． > (解答)…

とする． 問 (1) 7の平方根はであることは正しいか？ (解答) と置く．このとき平方根の定義から，次のような計算をする： i.e. i.e. であるから公理よりは常に正しい．▢ ☆補足 この論証に仮定は無いので全称判断としても正しい，と言えるからは「常に」正し…

とする． 問 (1) 循環小数を分数で表せ． (解答) と置く．このとき，等号の性質より両辺を10倍して i.e. で表す．さらにを考えると i.e. i.e. であり公理より を得る．▢ (2) 30/7を小数で表したとき，小数第100位の数字を求めよ． (解答) より と置く．この…

とする．このとき次の不等式 < < < < に対しての値を求めよ． (解答) まず，に対して∧-除去よりを考える．このとき < であるから > と書ける． 次に，同様にしてを考えれば < > である．それゆえ，∧-導入より < < と書ける．いまについて < < を得る．▢

とする．このとき次の多項式を展開せよ． (解答) と置く．このとき を得る．▢