存在判断の問 - 情報統合思念体への手紙

問　太郎の組には33人いる．男は女よりも3人多い．男女の人数をそれぞれ求めよ．

(解答)

$xを男の数$

$yを女の数$

とする．このとき，次のような方程式

$x+y=33$

$x=y+3$

を書ける．いま

$x:=a$ 　　∃-仮定

$y:=b$ 　　∃-仮定

に対して

$a+b=33$

$a=b+3$

と表し，これらを解けば

$(b+3)+b=33$ 　i.e.　 $2b=30$ 　i.e.　 $b=15$

を得る．

　したがって

$a=15+3=18$

であるから

$a=18$

$b=15$

すなわち

$x=18$ 　　∃-導入，∃-除去

$y=15$ 　　∃-導入，∃-除去

である．　▢

【補足】

　上記の問題は存在判断として解いたが，これはsuch. that. のうち，真であるものを選んだ，という意味が含まれている．つまり， $x=18,y=15$ 以外の数でも，存在判断としては正しいと言えてしまう．以前，単独判断は全称判断に含まれる，ということを書いたが，この単独判断という考え方で，もう一度問いを考えてみたい．

$x$ を男の人数， $y$ を女の人数とする．このとき

$x+y=33$

$x=y+3$

という方程式を立てる．いま

$a+b=33$ 　　∀-除去

$a=b+3$ 　　　∀-除去

で表し，これを解けば

$(b+3)+b=33$ 　i.e.　 $b=15$

を得る．これより

$a=18$

である．そして，この論証に仮定は無い．したがって∀-導入適用可能であるから

$x=18$ 　　∀-導入

$y=15$ 　　∀-導入

がわかる．▢

【結論】

　算数だと全称判断と存在判断の区別はできないことが多い，ということがわかった．この状況は高校数学まで続く．それゆえ，論理を使用しないでも計算だけで解答することができてしまい，ひいてはパラメタ数学に結びついてしまう．私の目的はパラメタ数学からの脱却であるので，このようなことを考えた．存在判断の存在とは

少なくとも1つ　すなわち　全体でもよい

という意味もある．全称と特称が重なることもあるので，これら判断記号を単純に「すべて」「ある」というように解釈することは危険だと思われる．