情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

左Λ-準同型写像に関する誘導写像の性質

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$f,f_1,f_2:(M',M)→(N',N)　左Λ$ -準同型写像

$g:(N',N)→(P'P)　左Λ$ -準同型写像

とする．このとき次が成立する．

(設計)

$Pは　f_1+f_2:(M',M)→(N'N)$

$Q：(f_1+f_2)^*=f_{1}^*+f_{2}^*$

$Rは　gf:(M',M)→(P'P)$

$S：(gf)^*=g^*f^*$

$T：(λf)^*=λf^*$

と置く． $P,Q,R,S,T\vdash P∧Q, R∧S, T→T$ より

$P∧Q, R∧S, T→T：このような誘導写像の性質が成立する$

(仕組)

(ア)　 $P$ について

　左 $Λ$ -加群から左 $Λ$ -加群への

$f, f_1, f_2:M→N$ 　左 $Λ$ -準同型写像

に対して $f:=f_1+f_2$ と定めると $f∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ と書けることは以前示した．

(イ)　 $Q$ について

　 $f_1,f_2$ の誘導写像 $f_{1}^*, f_{2}^*$ に関して

$(f_1+f_2)^*=f_1+f_2$

$f_{1}^*+f_{2}^*=f_1+f_2$

$N→N/N',　f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$ 　　( $x∈M, \bar{x}∈M/M'$ )

による．

(ウ)　 $R$ について

　合成写像

$gf:=g(f(x))$ 　　( $x∈M$ )

$M→N→P,　x\mapsto f(x)\mapsto gf(x)$

による．

(エ)　 $S$ について

$(gf)^*=gf$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$g^*=g$

$f^*=f$

より $(gf)^*=g^*f^*$ である．

(オ)　 $T$ について

$(λf)^*=λf$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$λf^*=λf$

による．

☆　補足

　 $Λ$ の可換性を用いることがなかったので， $Λ$ は非可換環である，と考える．