情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

像，核，余像，余核の意義と性質

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$パラメタ$

$f:M→N$ 　 $Λ$ -準同型

$\mathrm{Im}f:=f(M)$ 　 $f(M)はMの像$

$\mathrm{Ker}f:=f^{-1}(0)$ 　0の逆像 $f^{-1}(0)=\{x∈M|f(x)=0\}$

とする．

$fの余像と余核$

$\mathrm{Coim}f:=M/\mathrm{Ker}f$ 　　余像

$\mathrm{Coker}f:=N/\mathrm{Im}f$ 　　余核

で定める．とくにこれらの内包は

$x+\mathrm{Ker}f∈\mathrm{Coim}f$ に関して $x+\mathrm{Ker}f=\{x+y|x∈M\}$

であり，余像の要素は

$x∈x+\mathrm{Ker}f$ に対して $x+y=z∈M$ 　(とくに $M$ は加法群)

で表される．もちろん， $f(y)=0$ である．

☆　集合の要素の要素 $z∈x+\mathrm{Ker}f∈\mathrm{Coim}f$ について

　私の見解は，うそつき村問題はなかったと考えるので，ラッセルの背理は起こらず，このような集合の要素の要素という構成はできる，と思われる．

$x+\mathrm{Im}f∈\mathrm{Coker}に対してx+\mathrm{Im}f=\{x+f(y)|x∈N\}$

性質

(1)　 $fが単準同型\dashv\vdash \mathrm{Ker}f=0$

(2)　 $fが全準同型\dashv\vdash \mathrm{Coker}f=0$

(1)について

(設計)

$P：fが単準同型$

$Q：\mathrm{ker}f=0$

と置く．このとき $P\dashv\vdash Q$ より

$P\dashv\vdash Q：fが単準同型のとき，そのときに限り\mathrm{Ker}f=0$

である．

(仕組)

(ア)　 $P\vdash Q$

　 $f$ が単準同型写像であるとき $x\mapsto x(fが単射)$ であり，とくに

$0\mapsto 0$

であるから

$f(x)=0$ 　i.e.　 $f(0)=0$ 　　(零元の性質， $f(0)は0にのみ写る$ )

と成る．

　したがって $\mathrm{Ker}f=0$ である．

(イ)　 $Q\vdash P$

　 $\mathrm{Ker}f=0$ のとき，写像は $0\mapsto 0$ という対応のみであるので，このような1つの写像は単射である，と看做す．

　したがって(イ)をいえる．

(2)について

(設計)

$P：fが全準同型$

$Q：\mathrm{Coker}f=0$

と置く．このとき $P\dashv\vdash Q$ より

$P\dashv\vdash Q：fが全準同型のとき，そのときに限り\mathrm{Coker}f=0$

が成り立つ．

(仕組)

(ア)　 $P\vdash Q$

　 $f$ が全準同型であるとすると

$\mathrm{Coker}f=N/\mathrm{Im}f=\mathrm{Im}f/\mathrm{Im}f=N/N$

である．ここで $N/N$ の内包は

$N/N=\{n+n|n∈N\}$

で表される．このとき $N=0$ を計算する．零元の性質 $0+0=0$ より

$N/N=N=0$

と書ける．

　したがって，余核 $\mathrm{Coker}f=0$ である．

(イ)　 $Q\vdash P$

　余核 $\mathrm{Coker}f=0$ であるとする．このとき $f$ が全射であることを示したい．そのために， $f(M)⊆N$ は $M$ の像の定義により成立するので，逆の $N⊆f(M)$ を計算する．いま，余核は零加群すなわち $N/\mathrm{Im}f=0$ であるので $0∈\mathrm{Coker}f$ に対して

☆　補足

$0+f(0)∈\mathrm{Coker}f$

零元の性質： $f(0)=0，0+0=0$ より

$0∈\mathrm{Coker}$

と書ける．

$Λ$ -加群 $M$ をとくに加法群と看做すとき $0∈M$ であるので

$0∈\mathrm{Coker}f→0=f(0)∈f(M)$ 　　　 $f(M)=\{f(x)|x∈M\}$

である．

　したがって， $N⊆f(M)$ が成立する．▢