情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

Hom(M,N)がΛ-加群を成すこと

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$Λ：可換環$

$f∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$

$λ∈Λ(固定)$

とする．このとき

$P：g(x):=λf(x)$ 　i.e.　 $g=λf$

$Q：x_1:=f(x_1)$

$R：x_2:=f(x_2)$

$S：g∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$

と置くと $P∧Q∧R,S\vdash P∧Q∧R→S$ が成立する．

(理由)

　ここで考えることは， $g$ が $Λ$ -準同型写像に成るのか，ということである．

(ア)　 $f(λx)=λf(x)$ について

　 $f∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ より $g$ は(ア)をみたす( $f$ が $Λ$ -準同型であるから)．

(イ)　 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ について

$g(x_1+x_2)=λf(x_1+x_2)=λ（f(x_1)+f(x_2)）$ 　

$N$ は $Λ$ -加群であるので次のように変形できる

$=λf(x_1)+λf(x_2)=g(x_1)+g(x_2)$

より $g$ は(イ)をみたす．

　したがって， $g∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ と成る．▢

$\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ が $Λ$ -加群を成すこと

(理由)

$P：g∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ に対して $x\mapsto λx$

$Q：λ(x_1+x_2)=λ(x_1)+λ(x_2)$

$R：(λ_1+λ_2)x=λ_1x+λ_2x$

$S：λ_1(λ_2x)=(λ_1λ_2)x$

$T：1x=x$ 　　( $1∈Λ$ )

$U：x:=x_1+x_2$

$V：λ:=λ_1+λ_2$

と置く．このとき $P,Q,R,S,T,U,V\vdash P∧Q∧R∧S∧T∧U∧V$ より

$P∧Q∧R∧S∧T∧U∧V：\mathrm{Hom}_Λ(M,N)はΛ$ - $加群を成す$

を得る．実際

・ $Q$ について

　 $λx∈N$ に関して

$λx=λ(x_1+x_2)=λx_1+λx_2$ 　　( $NはΛ$ - $加群$ )

・ $R$ について

$N∋λx=(λ_1+λ_2)x=λ_1x+λ_2x$ 　　( $NはΛ$ - $加群$ )

・ $S$ について

$N∋λ_1(λ_2x)=(λ_1λ_2)x$ 　　( $NはΛ$ - $加群$ )

・ $T$ も同様の理由で成立する．

　以上より， $\mathrm{Hom}_Λ(M,N)はΛ$ - $加群を成すことがわかる．$ ▢

結果

　 $Λ$ は可換環である，という仮定をしたが，結果としてその交換性を用いることは無かったので， $Λ$ を非可換環とし(加法群であることは残る) $\mathrm{Hom}_Λ$ は左 $Λ$ -加群である，と考える．