情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

場合分けで解答する問題

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．このとき

(1)　 $|2x-1|の絶対値を外せ．$

(2)　 $方程式|x-6|=2xをxについて解け．$

(設計)

(1)について

$P：2x-1≥0$ 　i.e.　 $x≥\displaystyle\frac{1}{2}のとき$

$|2x-1|=2x-1$

$Q：2x-1$ < $0$ 　i.e.　 $x$ < $\displaystyle\frac{1}{2}のとき$

$|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∨Q$ より

$P∨Q：|2x-1|=2x-1∨|2x-1|=-2x+1$

で表される．

(2)について

(設計)

$P：x-6≥0$ 　i.e.　 $x≥6のとき$

$|x-6|=2x$ 　i.e.　 $x-6=2x$ 　i.e.　 $x=-6$

$Q：x-6$ < $0$ 　i.e.　 $x$ < $6のとき$

$|x-6|=2$ 　i.e.　 $-x+6=2x$ 　i.e.　 $x=2$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∨Q$ より

$P∨Q：x=-6(x≥6)∨x=2(x$ < $6$ )

に関して $P$ は不成立であるから，これを棄却し求める解は $x=2$ である(選言三段論法)．

☆　計算問題は「設計」のみで解答する．

全準同型写像の誘導写像も全射であること

ホモロジー代数学

　前回の記事の $Λ$ -準同型写像を誘導写像と呼ぶ．

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．このとき $f$ が全準同型写像ならば，誘導写像 $f^*$ も全準同型写像である．

(設計)

$P：fが全準同型写像$

$Q：f^*が全準同型$

と置く．このとき $P,Q\vdash P→Q$ より

$P→Q：fが全射ならばf^*も全射$

である．

(仕組)

　 $Λ$ -準同型写像 $f$ について

$f:M→N,　f(M)=N　(fは全射)$

と仮定する．像の性質より $f^*(M/M')⊆N/N'$ は成立するので $N/N'⊆f^*(M/M')$ を計算する．すなわち

$f^*(\bar{x})∈N/N'→f^*(\bar{x})∈f^*(M/M')$

をいう．

①に関して

　まず $f^*(\bar{x})∈N/N'$ に対して

$f^*(\bar{x})∈f(M)/N'$ 　　　　 $fは全射 , f(M)=N$

i.e.　

$f^*(\bar{x})=f^*(x)+N'$ 　　　　 $f^*(x)∈f(M)$

$=f(x)$ 　　　　　　　　　　 $x\mapsto \bar{x},　f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

と書ける．

②に関して

　次に $f^*(\bar{x})∈f^*(M/M')$ を考えれば

$f^*(\bar{x})=f^*(x)+M'$ 　　　　 $f^*(x)∈M$

$=f(x)$ 　　　　　　　　　　 $x\mapsto \bar{x},　f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

である．ここで①と②に→-導入則を適用すれば

$f^*(\bar{x})∈N/N'→f^*(\bar{x})∈f^*(M/M')$

が成立する．▢

剰余加群M/M'から剰余加群N/N'へのΛ-準同型写像について

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$Λ：非可換環$

$M：Λ$ - $加群$

$M'⊆M$

$M'：Mの部分加群$

$(M', M)：順序対$

$f:(M', M)→(N', N)$ 　　順序対の群準同型写像

とくに

$f:M→N$ 　　 $Λ$ -準同型写像

$f(M')：M'の像$

$f(M')⊆N'$

$f(M')=\{f(m')|m'∈M'\}$

$x_1,x_2∈m+M'$ 　　 $M'を法とするMの剰余類$

$m+M'=\{m+m'|m∈M\}$

とくに $x_1,x_2∈M$ であるからこれを

$x_1+M',x_2+M'$

で表すとする．このとき

$f(x_1)-f(x_2)$

$=f(x_1-x_2)$ 　　 $fはΛ$ - $準同型$

$∈f(M')⊆N'$ 　　 $M'は加法群であるからx_1-x_2∈M'$

が成立する．これより， $f(x_1)$ と $f(x_2)$ は $N'$ を法とする $N$ の剰余類に属するので( $f(x_1)+N',f(x_2)+N'$ )，次の写像を定義できる：

$f^{*}:M/M'→N/N'$

このような $f^{*}$ は $Λ$ - $準同型写像$ である．

(設計)

$P：f^{*}(\overline{x_1+x_2})=f^{*}(\bar{x_1})+f^{*}(\bar{x_2})$

$Q：f^*(\overline{λx})=λf^*(\bar{x})$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ より

$P∧Q：f^*はΛ$ - $準同型写像$

である．

(仕組)

$M→M/M', x\mapsto \bar{x}$ 　　 $Λ$ -準同型

$\bar{x}:=x+M'$ 　　 $(x∈M)$

　このときの写像は， $Λ$ -加群 $M$ から剰余加群 $M/M'$ への自然写像である．また

$N→N/N', y\mapsto \bar{y}$ 　　 $Λ$ -準同型

$\bar{y}:=y+N'$ 　　 $(y∈N)$

も同じ構造である．とくに今回は， $f(x_1),f(x_2)∈N$ であるから

$x\mapsto f(x)$

$f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

に注意する．さて， $f^*$ について

$f^*:M/M'→N/N'$

を考えると

①　 $x_1,x_2∈m+M'$

i.e.

$\bar{x_1}:=x_1+M'$

$\bar{x_2}:=x_2+M'$

②　 $f(x_1),f(x_2)∈n+N'$

i.e.

$f^*(\bar{x_1}):=f(x_1)+N'$

$f^*(\bar{x_2}):=f(x_2)+N'$

と表示できる．

(1)　 $P$ について

$f^*(\overline{x_1+x_2})$

$=f(x_1+x_2)$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$=f(x_1)+f(x_2)$ 　　 $fはΛ$ -準同型

$=f^*(\bar{x_1})+f^*(\bar{x_2})$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

　したがって

$f^*(\overline{x_1+x_2})=f^*(\bar{x_1})+f^*(\bar{x_2})$

が成立する．

(2)　 $Q$ について

$f^*(\overline{λx})$

$=f^*(λ\bar{x})$ 　　剰余加群の積

$=f(λx)$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$=λf(x)$ 　　 $fはΛ$ -準同型

$=λf^*(\bar{x})$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

　それゆえ

$f^*(\overline{λx})=λf^*(\bar{x})$

が成り立つ．

　以上より， $f^*$ は $Λ$ -準同型写像であることがわかる．▢

絶対値の方程式と不等式

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．

問　次の式を解け．

(1)　 $|x-3|=5$

(2)　 $|x-3|$ < $5$

(3)　 $|x-3|≥5$

(解答)

(1)について

(設計)

$|x-3|=5$ 　i.e.　 $x-3=±5$ 　i.e.　 $x-3=5∨x-3=-5$ より

$P：x-3=5$ 　i.e.　 $x=8$

$Q：x-3=-5$ 　i.e.　 $x=-2$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∨Q$ から

$P∨Q：x=8∨x=-2$

を得る．

(仕組)

　パラメタ $x$ の方程式 $|x-3|=5$ を言い換えると $x-3=±5$ と書ける．すなわち

$x-3=5∨x-3=-5$

である．このような式をセンテンス $P,Q$ で置きそれぞれを計算すれば

$P：x=8$

$Q：x=-2$

で表される．たとえば $x=8$ に対して∨-導入を適用すれば

$P∨Q：x=8∨x=-2$

を得る．

(2)について

(設計)

$|x-3|$ < $5$ 　i.e.　 $-5$ < $x-3$ < $5$

i.e.　 $-5$ < $x-3∧x-3$ < $5$ より

$P：-5$ < $x-3$ 　i.e.　 $-2$ < $x$

$Q：x-3$ < $5$ 　i.e.　 $x$ < $8$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ から

$P∧Q：-2$ < $x$ < $8$

と成る．

(仕組)

　パラメタ $x$ の不等式 $|x-3|$ < $5$ を換言すると $-5$ < $x-3$ < $5$ と書ける．さらに

$-5$ < $x-3∧x-3$ < $5$

である．これに∧-除去を適用してセンテンス $P,Q$ と置き，それぞれを解けば

$P$ について　 $-5$ < $x-3$ 　i.e.　 $-2$ < $x$

$Q$ について　 $x-3$ < $5$ 　i.e.　 $x$ < $8$

を得る．そして，∧-導入を適用することによって

$-2$ < $x$ < $8$

が求まる．

(3)について

(設計)

$|x-3|≥5$ 　i.e.　 $x-3≤-5∧5≤x-3$ より

$P：x-3≤-5$ 　i.e.　 $x≤-2$

$Q：5≤x-3$ 　i.e.　 $8≤x$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ から

$P∧Q：x≤-2∧8≤x$

である．

(仕組)

　パラメタ $x$ の不等式 $|x-3|≥5$ を言い換えて，それらをセンテンス $P,Q$ と置く．そして，∧-導入を適用すれば答えが求まる．▢

Λ-準同型写像に関するいくつかの定義と性質

ホモロジー代数学

$f:M→N　(左Λ$ - $準同型写像$ )

とする．

定義

$P：x≠y$

$Q：f(x)≠f(y)$

と置く．このとき $P,Q \vdash P→Q$ より

$P→Q：fは単射準同型写像$

という．

☆　上への写像とは

$f(M):=\{f(x)|x∈M\}$

$f:M→N$

に対して $f(M)=N$ が成り立つことをいう．

定義

$P：fがMをNの上に写像する$

と置く．このとき $P\vdash P→P$ より

$P→P：fは全射準同型写像$

と呼ぶ．

定義

$P：fが単射準同型写像$

$Q：fが全射準同型写像$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ より

$P∧Q：fは同型写像$

という．これを $M\cong N$ で表す．また，その逆写像 $f^{-1}$ も同型写像 $N\cong M$ であり， $f$ と $f^{-1}$ は互いに逆同型写像である，という．

☆　注意

$f:M→N　(左Λ$ - $準同型写像$ )

$g:N→M　(左Λ$ - $準同型写像$ )

とする．このとき

$［fとgがそれぞれ逆同型写像である］$

$⇔［gfとfgがそれぞれ恒等写像に成る］$ 　①

が成立する．

☆　恒等写像とは

$gf:M→N→M　x\mapsto x$

$fg:N→M→N　y\mapsto y$

(設計)

$P：M\cong N$

$Q：N\cong M$

$R：gfが恒等写像$

$S：fgが恒等写像$

と置く．このとき

$P→R∧Q→S\dashv \vdash R→Q∧S→P$

より①は成立する．

(仕組)

　 $M→N$ は全単射であり，その逆写像も全単射であるから $gf$ は恒等写像(全単射)である．すなわち

$M→N→M,　x\mapsto x\mapsto x$

と書ける．同様にして $N→M$ と $fg$ についても言える．

☆　恒等写像が全単射であることは $恒等写像のf(x)=x$ よりわかる．

$x≠y　→　f(x)≠f(y)$ 　　 $f(x)=x, f(y)=y$ による．

$f(M)⊆N$ は像の定義によるので，その逆 $N⊆f(M)$ を考えると

$x∈N→x=f(x)∈f(M)$

による．

P→R∧Q→S -| |- R→Q∧S→P

論理学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき

$P→R∧Q→S \dashv \vdash R→Q∧S→P$

が成立する．

(証明)

　まず

$P→R∧Q→S \vdash R→Q∧S→P$

を示す．

1　　(1)　 $P→R∧Q→S$ 　　仮定

1　　(2)　 $P→R$ 　　1. ∧-除去

1　　(3)　 $Q→S$ 　　1. ∧-除去

4　　(4)　 $P$ 　　仮定

5　　(5)　 $Q$ 　　仮定

1,4　 (6)　 $R$ 　　2,4. →-除去

1,5　 (7)　 $S$ 　　3,5. →-除去

1,4　 (8)　 $R→Q$ 　　5-6. →-導入

1　　(9)　 $S→P$ 　　4-7. →-導入

1　　(10)　 $Q$ 　　6,8. →-除去

1　　(11)　 $P$ 　　7,9. →-除去

　　 (12)　 $R→Q$ 　　6-10. →-導入

　　 (13)　 $S→P$ 　　7-11. →-導入

　　 (14)　 $R→Q∧S→P$ 　　12,13. ∧-導入

　次に

$P→R∧Q→S \dashv R→Q∧S→P$

をいう．

1　　(1)　 $R→Q∧S→P$ 　　仮定

1　　(2)　 $R→Q$ 　　1. ∧-除去

1　　(3)　 $S→P$ 　　1. ∧-除去

4　　(4)　 $R$ 　　仮定

5　　(5)　 $S$ 　　仮定

1,4　 (6)　 $Q$ 　　2,4. →-除去

1,5　 (7)　 $P$ 　　3,5. →-除去

1,4　 (8)　 $Q→S$ 　　5-6. →-導入

1　　(9)　 $P→R$ 　　4-7. →-導入

1　　(10)　 $S$ 　　6,8. →-除去

1　　(11)　 $R$ 　　7,9. →-除去

　　 (12)　 $Q→S$ 　　6-10. →-導入

　　 (13)　 $P→R$ 　　7-11. →-導入

　　 (14)　 $P→R∧Q→S$ 　　12,13. ∧-導入

√2が無理数であることの構造

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき $\sqrt{2}$ が無理数であることを示せ．

(設計)

$P：\sqrt{2}が無理数である$

と置く． $￢P, ￢P→P\vdash P$ より成り立つ．

(仕組)

$￢P：\sqrt{2}が無理数でない$ 　i.e.　 $\sqrt{2}が有理数である$

による．設計では $￢P→P$ とあるが，このかたちをそのまま用いることはない．それが人工言語と自然言語との違いだと思われる．▢