情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

剰余加群M/M'から剰余加群N/N'へのΛ-準同型写像について

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$Λ：非可換環$

$M：Λ$ - $加群$

$M'⊆M$

$M'：Mの部分加群$

$(M', M)：順序対$

$f:(M', M)→(N', N)$ 　　順序対の群準同型写像

とくに

$f:M→N$ 　　 $Λ$ -準同型写像

$f(M')：M'の像$

$f(M')⊆N'$

$f(M')=\{f(m')|m'∈M'\}$

$x_1,x_2∈m+M'$ 　　 $M'を法とするMの剰余類$

$m+M'=\{m+m'|m∈M\}$

とくに $x_1,x_2∈M$ であるからこれを

$x_1+M',x_2+M'$

で表すとする．このとき

$f(x_1)-f(x_2)$

$=f(x_1-x_2)$ 　　 $fはΛ$ - $準同型$

$∈f(M')⊆N'$ 　　 $M'は加法群であるからx_1-x_2∈M'$

が成立する．これより， $f(x_1)$ と $f(x_2)$ は $N'$ を法とする $N$ の剰余類に属するので( $f(x_1)+N',f(x_2)+N'$ )，次の写像を定義できる：

$f^{*}:M/M'→N/N'$

このような $f^{*}$ は $Λ$ - $準同型写像$ である．

(設計)

$P：f^{*}(\overline{x_1+x_2})=f^{*}(\bar{x_1})+f^{*}(\bar{x_2})$

$Q：f^*(\overline{λx})=λf^*(\bar{x})$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ より

$P∧Q：f^*はΛ$ - $準同型写像$

である．

(仕組)

$M→M/M', x\mapsto \bar{x}$ 　　 $Λ$ -準同型

$\bar{x}:=x+M'$ 　　 $(x∈M)$

　このときの写像は， $Λ$ -加群 $M$ から剰余加群 $M/M'$ への自然写像である．また

$N→N/N', y\mapsto \bar{y}$ 　　 $Λ$ -準同型

$\bar{y}:=y+N'$ 　　 $(y∈N)$

も同じ構造である．とくに今回は， $f(x_1),f(x_2)∈N$ であるから

$x\mapsto f(x)$

$f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

に注意する．さて， $f^*$ について

$f^*:M/M'→N/N'$

を考えると

①　 $x_1,x_2∈m+M'$

i.e.

$\bar{x_1}:=x_1+M'$

$\bar{x_2}:=x_2+M'$

②　 $f(x_1),f(x_2)∈n+N'$

i.e.

$f^*(\bar{x_1}):=f(x_1)+N'$

$f^*(\bar{x_2}):=f(x_2)+N'$

と表示できる．

(1)　 $P$ について

$f^*(\overline{x_1+x_2})$

$=f(x_1+x_2)$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$=f(x_1)+f(x_2)$ 　　 $fはΛ$ -準同型

$=f^*(\bar{x_1})+f^*(\bar{x_2})$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

　したがって

$f^*(\overline{x_1+x_2})=f^*(\bar{x_1})+f^*(\bar{x_2})$

が成立する．

(2)　 $Q$ について

$f^*(\overline{λx})$

$=f^*(λ\bar{x})$ 　　剰余加群の積

$=f(λx)$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

$=λf(x)$ 　　 $fはΛ$ -準同型

$=λf^*(\bar{x})$ 　　 $f(x)\mapsto f^*(\bar{x})$

　それゆえ

$f^*(\overline{λx})=λf^*(\bar{x})$

が成り立つ．

　以上より， $f^*$ は $Λ$ -準同型写像であることがわかる．▢