情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

絶対値の方程式と不等式

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．

問　次の式を解け．

(1)　 $|x-3|=5$

(2)　 $|x-3|$ < $5$

(3)　 $|x-3|≥5$

(解答)

(1)について

(設計)

$|x-3|=5$ 　i.e.　 $x-3=±5$ 　i.e.　 $x-3=5∨x-3=-5$ より

$P：x-3=5$ 　i.e.　 $x=8$

$Q：x-3=-5$ 　i.e.　 $x=-2$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∨Q$ から

$P∨Q：x=8∨x=-2$

を得る．

(仕組)

　パラメタ $x$ の方程式 $|x-3|=5$ を言い換えると $x-3=±5$ と書ける．すなわち

$x-3=5∨x-3=-5$

である．このような式をセンテンス $P,Q$ で置きそれぞれを計算すれば

$P：x=8$

$Q：x=-2$

で表される．たとえば $x=8$ に対して∨-導入を適用すれば

$P∨Q：x=8∨x=-2$

を得る．

(2)について

(設計)

$|x-3|$ < $5$ 　i.e.　 $-5$ < $x-3$ < $5$

i.e.　 $-5$ < $x-3∧x-3$ < $5$ より

$P：-5$ < $x-3$ 　i.e.　 $-2$ < $x$

$Q：x-3$ < $5$ 　i.e.　 $x$ < $8$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ から

$P∧Q：-2$ < $x$ < $8$

と成る．

(仕組)

　パラメタ $x$ の不等式 $|x-3|$ < $5$ を換言すると $-5$ < $x-3$ < $5$ と書ける．さらに

$-5$ < $x-3∧x-3$ < $5$

である．これに∧-除去を適用してセンテンス $P,Q$ と置き，それぞれを解けば

$P$ について　 $-5$ < $x-3$ 　i.e.　 $-2$ < $x$

$Q$ について　 $x-3$ < $5$ 　i.e.　 $x$ < $8$

を得る．そして，∧-導入を適用することによって

$-2$ < $x$ < $8$

が求まる．

(3)について

(設計)

$|x-3|≥5$ 　i.e.　 $x-3≤-5∧5≤x-3$ より

$P：x-3≤-5$ 　i.e.　 $x≤-2$

$Q：5≤x-3$ 　i.e.　 $8≤x$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ から

$P∧Q：x≤-2∧8≤x$

である．

(仕組)

　パラメタ $x$ の不等式 $|x-3|≥5$ を言い換えて，それらをセンテンス $P,Q$ と置く．そして，∧-導入を適用すれば答えが求まる．▢