情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

Λ-準同型写像に関するいくつかの定義と性質

ホモロジー代数学

$f:M→N　(左Λ$ - $準同型写像$ )

とする．

定義

$P：x≠y$

$Q：f(x)≠f(y)$

と置く．このとき $P,Q \vdash P→Q$ より

$P→Q：fは単射準同型写像$

という．

☆　上への写像とは

$f(M):=\{f(x)|x∈M\}$

$f:M→N$

に対して $f(M)=N$ が成り立つことをいう．

定義

$P：fがMをNの上に写像する$

と置く．このとき $P\vdash P→P$ より

$P→P：fは全射準同型写像$

と呼ぶ．

定義

$P：fが単射準同型写像$

$Q：fが全射準同型写像$

と置く．このとき $P,Q\vdash P∧Q$ より

$P∧Q：fは同型写像$

という．これを $M\cong N$ で表す．また，その逆写像 $f^{-1}$ も同型写像 $N\cong M$ であり， $f$ と $f^{-1}$ は互いに逆同型写像である，という．

☆　注意

$f:M→N　(左Λ$ - $準同型写像$ )

$g:N→M　(左Λ$ - $準同型写像$ )

とする．このとき

$［fとgがそれぞれ逆同型写像である］$

$⇔［gfとfgがそれぞれ恒等写像に成る］$ 　①

が成立する．

☆　恒等写像とは

$gf:M→N→M　x\mapsto x$

$fg:N→M→N　y\mapsto y$

(設計)

$P：M\cong N$

$Q：N\cong M$

$R：gfが恒等写像$

$S：fgが恒等写像$

と置く．このとき

$P→R∧Q→S\dashv \vdash R→Q∧S→P$

より①は成立する．

(仕組)

　 $M→N$ は全単射であり，その逆写像も全単射であるから $gf$ は恒等写像(全単射)である．すなわち

$M→N→M,　x\mapsto x\mapsto x$

と書ける．同様にして $N→M$ と $fg$ についても言える．

☆　恒等写像が全単射であることは $恒等写像のf(x)=x$ よりわかる．

$x≠y　→　f(x)≠f(y)$ 　　 $f(x)=x, f(y)=y$ による．

$f(M)⊆N$ は像の定義によるので，その逆 $N⊆f(M)$ を考えると

$x∈N→x=f(x)∈f(M)$

による．