2024-04-17

￢PからPを導出する理屈

論理学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき

$￢P, ￢P→P\vdash P$

が結果的に無仮定で成立する(述語論理の∀-導入適用可能)．

(証明)

1　　(1)　 $￢P$ 　　仮定

2　　(2)　 $￢P→P$ 　　仮定

1,2　 (3)　 $P$ 　　1,2. →-除去

1　　(4)　 $￢P→P$ 　　1-3. →-導入

1　　(5)　 $\bot$ 　　1,3. ￢-除去

　　 (6)　 $￢￢P$ 　　1-5. ￢-導入

　　 (7)　 $P$ 　　7. DN規則

2024-04-16

不等式の文章題

高校数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．このとき(問題文は省略)

(設計)

$P：1個160円のりんご(できるだけ多く)$

$Q：1個130円のみかん$

$R：りんごとみかんを20個買う$

$S：200円のかご$

$T：代金の合計を3,000円以下にしたい$

に対して $P,Q,R,S,T\vdash P∧Q∧R∧S∧T$ より答えが求まる．

(仕組)

　まず，りんごの個数を $x$ と置く(存在仮定)．次に以下のような方程式を立てる．

$160x+130(20-x)+200≤3000$

このような $x$ について解けば

$x≤\displaystyle\frac{20}{3}=6.666\cdots\cdots$

を得る．そして，りんごはできるだけ多く買うので最大の正整数を考えると

$x=6$ 　　(存在仮定除去)

が求まる．▢

☆　存在仮定とは仮定落としをしなくてもよい仮定のことをいう．つまり，存在仮定は最終的に存在仮定除去が適用されるので，通常の仮定落としを考えなくてよい．

2024-04-16

左Λ-準同型写像の性質

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$Λ：非可換環$

$M,N：左Λ$ - $加群$

$f,f_1,f_2:M→N$ ( $左Λ$ - $準同型写像$ )

$g,g_1,g_2:N→L$ ( $左Λ$ - $準同型写像$ )

とする．このとき

(設計)

$P：g(f_1+f_2)=gf_1+gf_2$

$Q：(g_1+g_2)f=g_1f+g_2f$

$R：(λg)f=g(λf)$

$S：g(λf)=λ(gf)$

$T：λ:=1$ 　( $1∈Λ$ )

は $P,Q,R,S,T\vdash P∧Q∧R∧S∧T$ より成立する．

(仕組)

(ア)　 $P$ について

①　 $g(f_1+f_2)$

$=g(f_1(x)+f_2(x))$ 　　

$=g(f(x))$ 　　 $f(x):=f_1(x)+f_2(x)$

$=gf(x)$

$=gf$

②　 $gf_1+gf_2$

$=g(f_1(x))+g(f_2(x))$

$=g(f_1(x)+f_2(x))$ 　　 $gは左Λ$ -準同型

$=g(f(x))$ 　　 $f(x):=f_1(x)+f_2(x)$

$=gf(x)$

$=gf$

①と②より成り立つ．

(イ)　 $Qについて$

①　 $(g_1+g_2)f=g(x)f(x)=g(f(x))=gf(x)=gf$

②　 $g_1f+g_2f=g_1(f(x))+g_2(f(x))=g(f(x))=gf(x)=gf$

①と②による．

(ウ)　 $R∧Tについて$

$λg=1g=g$

$λf=1f=f$

について，これら $左Λ$ -準同型写像の集合は $左Λ$ -加群の構造をもつことから成立する．したがって $R∧T$ がいえる．

(エ)　 $S∧Tについて$

　(ウ)と同様の理由で

$λf=1f=f$

$λ(gf)=1(gf)=gf$

が成立する．▢

2024-04-13

P∧Q→Rについて

論理学

$P,Q,R,......：センテンス$

とする．このとき，次の論理式は文論理及び述語論理をみたすように成立する．

$P∧Q→R$

(証明)

1　　(1)　 $P∧Q$ 　　仮定

2　　(2)　 $R$ 　　仮定

1　　(3)　 $P$ 　　1. ∧-除去

1　　(4)　 $Q$ 　　1. ∧-除去

1　　(5)　 $P∧Q$ 　　3,4. ∧-導入

1　　(6)　 $P∧Q→R$ 　　2-5. →-導入

1　　(7)　 $R$ 　　5,6. →-除去

　　 (8)　 $P∧Q→R$ 　　5-7. →-導入

2024-04-13

Hom(M,N)がΛ-加群を成すこと

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$Λ：可換環$

$f∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$

$λ∈Λ(固定)$

とする．このとき

$P：g(x):=λf(x)$ 　i.e.　 $g=λf$

$Q：x_1:=f(x_1)$

$R：x_2:=f(x_2)$

$S：g∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$

と置くと $P∧Q∧R,S\vdash P∧Q∧R→S$ が成立する．

(理由)

　ここで考えることは， $g$ が $Λ$ -準同型写像に成るのか，ということである．

(ア)　 $f(λx)=λf(x)$ について

　 $f∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ より $g$ は(ア)をみたす( $f$ が $Λ$ -準同型であるから)．

(イ)　 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ について

$g(x_1+x_2)=λf(x_1+x_2)=λ（f(x_1)+f(x_2)）$ 　

$N$ は $Λ$ -加群であるので次のように変形できる

$=λf(x_1)+λf(x_2)=g(x_1)+g(x_2)$

より $g$ は(イ)をみたす．

　したがって， $g∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ と成る．▢

$\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ が $Λ$ -加群を成すこと

(理由)

$P：g∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ に対して $x\mapsto λx$

$Q：λ(x_1+x_2)=λ(x_1)+λ(x_2)$

$R：(λ_1+λ_2)x=λ_1x+λ_2x$

$S：λ_1(λ_2x)=(λ_1λ_2)x$

$T：1x=x$ 　　( $1∈Λ$ )

$U：x:=x_1+x_2$

$V：λ:=λ_1+λ_2$

と置く．このとき $P,Q,R,S,T,U,V\vdash P∧Q∧R∧S∧T∧U∧V$ より

$P∧Q∧R∧S∧T∧U∧V：\mathrm{Hom}_Λ(M,N)はΛ$ - $加群を成す$

を得る．実際

・ $Q$ について

　 $λx∈N$ に関して

$λx=λ(x_1+x_2)=λx_1+λx_2$ 　　( $NはΛ$ - $加群$ )

・ $R$ について

$N∋λx=(λ_1+λ_2)x=λ_1x+λ_2x$ 　　( $NはΛ$ - $加群$ )

・ $S$ について

$N∋λ_1(λ_2x)=(λ_1λ_2)x$ 　　( $NはΛ$ - $加群$ )

・ $T$ も同様の理由で成立する．

　以上より， $\mathrm{Hom}_Λ(M,N)はΛ$ - $加群を成すことがわかる．$ ▢

結果

　 $Λ$ は可換環である，という仮定をしたが，結果としてその交換性を用いることは無かったので， $Λ$ を非可換環とし(加法群であることは残る) $\mathrm{Hom}_Λ$ は左 $Λ$ -加群である，と考える．

2024-04-13

Hom(M,N)が加法群であること

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

とする．

　前回， $f_1,f_2:M→N, f(x):=f_1(x)+f_2(x)$ が $Λ$ -準同型写像であることを確かめた．これは $f_1,f_2$ について， $Λ$ -準同型写像の加法 $f_1+f_2$ を定めたことに成る．いま， $Λ$ -準同型写像 $M→N$ の集合

$\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$

を考えると，演算 $f_1+f_2$ に対して，これは加法群を成す．

(証明)

Ⅰ.　結合律

$P：f_1,f_2,f_3∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)について$

　　　 $(f_1+f_2)+f_3=f+f_3　　(f:=f_1+f_2)$

$Q：f_1,f_2,f_3∈\mathrm{Hom}_Λ(M,N)に関して$

　　　 $f_1+(f_2+f_3)=f_1+g　　(g:=f_2+f_3)$

$R：f+f_3=f_1+gとなるようにf,g,f_1,f_3$ を選ぶ(パラメタの自在性)すなわち $f=gあるいはf_1=f_3$

と置く．このとき， $P,Q,R\vdash P∧Q∧R$ より

$P∧Q∧P：(f_1+f_2)+f_3=f_1+(f_2+f_3)$

が成立する．

Ⅱ.　単位元(零元)

$P：0:=f(0)$

$Q：f+0=f$

$R：f+0=0+f$

と置く． $P,Q,R\vdash P∧Q∧R$ より

$P∧Q∧R：\mathrm{Hom}_Λ(M,N)の単位元が存在する$

と成る．実際

(ア)　 $f+0=f$

$f+0=f(x)+f(0)$

$=f_1(x)+f_2(x)+f_1(0)+f_2(0)$

$=f_1(x)+f_1(0)+f_2(x)+f_2(0)$

$=f_1(x+0)+f_2(x+0)$

$=f_1(x)+f_2(x)$ 　　 $x+0=x∈M(Mは加法群)$

$=f(x)$

$=f$

i.e.　 $f+0=f$

が成り立つ．

(イ)　 $f+0=0+f$

　(ア)より $f+0=f$ であるから，同様にして $0+f=f$ である．したがって $f+0=0+f$ が成立する．

Ⅲ.　逆元

$P：f$

$Q：-f:=f(-x)$

$R：f-f=0$

$S：f-f=-f+f$

と置く．このとき $P,Q,R,S\vdash P∧Q∧R∧S$ より

$P∧Q∧R∧S：\mathrm{Hom}_Λ(M,N)に逆元が存在する$

と表される．というのも

(ア)　 $R$ について

$f+(-f)$

$=f_1(x)+f_2(x)+f_1(-x)+f_2(-x)$

$=f_1(x)+f_1(-x)+f_2(x)+f_2(-x)$

$=f_1(x-x)+f_2(x-x)$

$=f_1(0)+f_2(0)$

$=f(0)$

$=0$

i.e.　 $f+(-f)=f-f=0$

と書けるからである．

(イ)　 $S$ について

　(ア)と同様にして $-f+f=0$ が成り立つ．

　以上より，準同型写像の集合 $\mathrm{Hom}_Λ(M,N)$ は加法群を成す．▢

2024-04-12

Λ-準同型写像の意義

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$M,N：(左)Λ$ - $加群$

$f:M→N (写像)$

とする．

☆　写像とは何か？

　ここでは，言葉の意味について考えることはない．それが「抽象」である．たとえば(左) $Λ$ -加群とは何か？　と言われたとしよう．私は(今覚えている限りで)

①　 $λ(x_1+x_2)=λx_1+λx_2$

②　 $(λ_1+λ_2)x=λ_1x+λ_2x$

③　 $λ_1(λ_2x)=(λ_1λ_2)x$

④　 $1x=x$

をみたすような $λ,λ_1,λ_2∈Λ(非可換環)$ 及び $x,x_1,x_2∈M(加法群)$ である，と答えたとする．では，非可換環とは何か？　加法群とは何か？　群とは何か？　二項演算とは何か？　順序対とは何か？　直積集合とは何か？　集合とは何か？　というように用語の意味を遡り続けることになる(第一原因への言及)．そして，最も重要なことは記憶というのは忘却するものである，ということだ．

　もし，仮に①から④を答えたからといって， $Λ$ -加群の意味を知っている訳ではない．私は $Λ$ -加群の性質・作用を知っているだけで，「その物自体」をわからない．それゆえ， $Λ$ -加群それ自体に意味はない，と考える．私はこの無意味な物自体への質問を禁止する．私はただ $Λ$ -加群というものを受け入れて，ただその物がもつ性質や作用を書くのみである．

　これより，抽象代数学での用語について物自体への質疑を禁ずる．もし，そのような問い質しがあれば，その質問者に対して事物の第一原因を答えて貰う．そして，集合や写像を考えるうえで，逐一その要素を考えたり，表示したりすることも止める．それが事物を抽象化する，ということに繋がると思うからだ．

　このとき

$P：f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$