情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

左Λ-準同型写像の性質

ホモロジー代数学

$P,Q,R,......：センテンス$

$a,b,c,......：パラメタ$

$Λ：非可換環$

$M,N：左Λ$ - $加群$

$f,f_1,f_2:M→N$ ( $左Λ$ - $準同型写像$ )

$g,g_1,g_2:N→L$ ( $左Λ$ - $準同型写像$ )

とする．このとき

(設計)

$P：g(f_1+f_2)=gf_1+gf_2$

$Q：(g_1+g_2)f=g_1f+g_2f$

$R：(λg)f=g(λf)$

$S：g(λf)=λ(gf)$

$T：λ:=1$ 　( $1∈Λ$ )

は $P,Q,R,S,T\vdash P∧Q∧R∧S∧T$ より成立する．

(仕組)

(ア)　 $P$ について

①　 $g(f_1+f_2)$

$=g(f_1(x)+f_2(x))$ 　　

$=g(f(x))$ 　　 $f(x):=f_1(x)+f_2(x)$

$=gf(x)$

$=gf$

②　 $gf_1+gf_2$

$=g(f_1(x))+g(f_2(x))$

$=g(f_1(x)+f_2(x))$ 　　 $gは左Λ$ -準同型

$=g(f(x))$ 　　 $f(x):=f_1(x)+f_2(x)$

$=gf(x)$

$=gf$

①と②より成り立つ．

(イ)　 $Qについて$

①　 $(g_1+g_2)f=g(x)f(x)=g(f(x))=gf(x)=gf$

②　 $g_1f+g_2f=g_1(f(x))+g_2(f(x))=g(f(x))=gf(x)=gf$

①と②による．

(ウ)　 $R∧Tについて$

$λg=1g=g$

$λf=1f=f$

について，これら $左Λ$ -準同型写像の集合は $左Λ$ -加群の構造をもつことから成立する．したがって $R∧T$ がいえる．

(エ)　 $S∧Tについて$

　(ウ)と同様の理由で

$λf=1f=f$

$λ(gf)=1(gf)=gf$

が成立する．▢