情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

写像の定義

集合論

$A,B,C,......：集合(パラメタ)$

$a,b,c,......：束縛変数$

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：パラメタ$

とする．このとき記号 $f(X)$ に対して

$f(X):=\{f(x)∈Y|f(x)=y\}$

と置きこの記号の内包は

$∀x∈X∃!y∈Y［f(x)=y］$

i.e.　 $∀x∃!y［x∈X→［y∈Y\leftrightarrow f(x)=y］］$

である．これより

$f:X→Y$

$x\mapsto f(x)$ 　i.e.　 $x\mapsto y$

と表示する．このように表された記号 $f$ を $X$ から $Y$ への写像と呼ぶ．とくに $x$ と $y$ がパラメタのとき

$f(x_0)=y_0：x$ - $y座標のグラフ$

という．

例　 $f:\mathbb{N}→\mathbb{Z}$

$f$ が全射でないことを示す．

$\mathrm{Im}f=\mathbb{Z}$ を考える． $\mathbb{Z}⊆\mathrm{Im}f$ を考察する．

そのために

$∀y［y∈\mathbb{Z}］\vdash ∀y［y∈\mathbb{Z}⇒y∈\mathrm{Im}f］$

を調べる．

1　(1)　 $∀y［y∈\mathbb{Z}］$ 　　前提

1　(2)　 $y_0∈\mathbb{Z}$ 　　1. ∀-除去

3　(3)　 $y_0∈\mathrm{Im}f$ 　　仮定

このとき， $y_0∈\mathrm{Im}f$ に対して

$∀x∃!y［x∈\mathbb{N}→［f(x)=y］］$

であるから， $y$ は存在記号に束縛されていることがわかる．したがって，この仮定は前提(1)に反するので妥当でない．したがって $f$ は全射でない．