とする．このとき ∀-除去 ∀-除去 と置く．に対して 平行移動 をして和をとれば と書ける．ここで とすると である．そして，仮定はないので∀-導入可能であるから ∀-導入 同様にしてについて 平行移動 をして と置けば が成立する．したがって ∀-導入 である．

∀-除去 ∀-除去 とする．このとき なのだろうか？ (証明の方針) に対して，平行移動をすると であり，和をとれば と表される．いま ① ② ③ の3通りが考えられる．欲しい結果は②だが，①と③をどう考えればよいのだろうか．まだわからない．

とする．このとき が成立する． (証明の方針) ∀-除去 と置く．に対して 平行移動 である．そしてより と表示できる．推論中に仮定はないので，∀-導入可能．したがって ∀-導入 が成立する．