情報統合思念体への手紙

16号廃墟へ向かう道

A∩BやA∪Bとは何か？

集合論

集合の共通部分

$A,B：1つの集合$

とする．このとき， $A$ と $B$ との共通部分とは，通常

$A∩B=\{x|x∈A∧x∈B\}$

で表される．しかし，たとえば

$a∈A∩B$ 　i.e.　 $a∈A∧a∈B$

というように $A∩B$ から元をとったとする．ここで推論規則の∧-除去を1回適用すると

$a∈A　乃至　a∈B$

のみという状態に成る．これでは $A∩B$ から元をとった意味がない．

例

$A:=\{1,2,3,4\}$

$B:=\{2,4,6\}$

とする．このとき $A,B$ の共通部分は

$A∩B=\{2,4\}$

であるが

$a∈A∩B$ 　i.e.　 $a∈A∧a∈B$

に対して∧-除去より $a∈A$ を導出すれば $a=1$ を $A$ から選ぶこともできる(共通部分ではない)．また，集合の共通部分の内包は量化されていないが，これを限量記号を用いて表せば

$∀x［x∈A∩B→x∈A∧x∈B］$

と成るはずだ．しかし，∧の量化は

$∃x［x∈A∧φ(x)］$ 　　 $φ(x)$ は $x$ に関する条件を表す記号

であるから

$∀x∃x［x∈A∩B→［x∈A∧x∈B］］$

で表す．

和集合

　同じようにして和集合にも似たような問題がある．通常は

$A∪B=\{x|x∈A∨x∈B\}$

と書かれるが，しかしここから1個元をとったときに

$a∈A∨a∈B$

について推論規則の∨-導入を1回適用すると

$a∈A∨a∈B∨a∈C$

を構成することができてしまう．また和集合の内包は

$∀x∀x［x∈A∪B→［x∈A∨x∈B］］$

で表される．

まとめ

　集合の共通部分は集合の最小性をいい，和集合は集合の最大性をいうことがわかった．通常は，最小性と最大性が逆に説明されているので気を付けたい．

∧-除去と∨-導入の濫用防止法

　いま，命題 $P(x)$ が与えられている．このとき

$P(x)∨Q(x)∨\cdots$ 　　∨-導入

あるいは

$P(x)∧Q(x)$ 　i.e.　 $P(x)$ 　　∧-除去

という操作を回避するために

①　 $A∩B$ の内包

$∀x∃x［x∈A∩B→［x∈A←→x∈B］］$

理由：∧は←→に変形できるので同値に言い換えた．

②　 $A∪B$ の内包

$∀x∀x［x∈A∪B→［x∈A→x∈B］］$

理由：∨は→に変形できるので仮言に言い換えた．

③　 $A⊂B$ の内包

$∀x［x∈A→x∈B］$

①と②に似ているが異なるものである．